Progressão Geométrica (PG)
O que é uma progressão geométrica:
Progressão Geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é resultado da multiplicação do termo anterior por uma constante q, denominada como razão da PG.
Exemplo de Progressão Geométrica
A sequência numérica (5, 25, 125, 625...) é uma PG crescente, onde q=5. Ou seja, cada termo dessa PG, multiplicado pela sua razão (q=5), resulta no termo seguinte.
Fórmula para encontrar a razão (q) de uma PG
Dentro da PG Crescente (2, 6, 18, 54...) existe uma razão (q) constante ainda desconhecida. Para descobri-la, deve-se considerar os termos da PG, onde: (2=a1, 6=a2, 18=a3, 54=a4,...an), aplicando-os na seguinte fórmula:
q= a2/a1
Assim, para descobrir a razão dessa PG, a fórmula será desenvolvida da seguinte maneira: q= a2/a3 = 6/2 = 3.
A razão (q) da PG acima é 3.
Como a razão de uma PG é constante, ou seja, comum para todos os termos, podemos trabalhar a sua fórmula com termos diferentes, mas sempre dividindo-o pelo seu antecessor. Lembrando que a razão de uma PG pode ser qualquer número racional, excluindo o zero (0).
Exemplo: q=a4/a3, que dentro da PG acima também encontra-se como resultado q=3.
Fórmula para encontrar o Termo Geral da PG
Existe uma fórmula base para encontrar qualquer termo de uma PG. No caso da PG (2, 6, 18, 54, an...), por exemplo, onde an que pode ser nomeado como quinto ou enésimo termo, ou a5, ainda é desconhecido. Para encontrar esse ou outro termo, utiliza-se a fórmula geral:
an=am (q)n-m
Exemplo prático - Fórmula do termo geral da PG desenvolvida
Sabe-se que:
an é qualquer termo desconhecido a ser encontrado;
amé o primeiro termo da PG (ou qualquer outro, caso o primeiro termo não exista);
q é a razão da PG;
Portanto, na PG (2, 6, 18, 54, an...) onde procura-se o quinto termo (a5), a fórmula será desenvolvida na seguinte maneira:
an=am (q)n-m
a5=a1 (q)5-1
a5=2 (3)4
a5=2.81
a5= 162
Assim, descobre-se que o quinto termo (a5) da PG (2, 6, 18, 54, an...) é = 162.
Vale lembrar que é importante descobrir a razão de uma PG para encontrar um termo desconhecido. No caso da PG acima, por exemplo, a razão já era conhecida como 3.
As Classificações da Progressão Geométrica
Progressão Geométrica Crescente
Para uma PG ser considerada crescente, a sua razão sempre será positiva e seus termos crescentes, ou seja, aumentam dentro da sequência numérica.
Exemplo: (1, 4, 16, 64...), onde q=4
Na PG crescente com termos positivos, q > 1 e com os termos negativos 0 < q < 1.
Progressão Geométrica Decrescente
Para uma PG ser considerada decrescente, a sua razão sempre será positiva e diferente de zero e os seus termos decrescem dentro da sequência numérica, ou seja, diminuem.
Exemplos: (200, 100, 50...), onde q= 1/2
Na PG decrescente com termos positivos, 0 < q < 1 e com termos negativos, q > 1.
Progressão Geométrica Oscilante
Para uma PG ser considerada oscilante, a sua razão sempre será negativa (q < 0) e os seus termos alternam entre negativos e positivos.
Exemplo: (-3, 6, -12, 24,...), onde q = -2
Progressão Geométrica Constante
Para uma PG ser considerada constante ou estacionária a sua razão sempre será igual a um (q=1).
Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2...), onde q=1.
Diferença entre Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
Assim como a PG, a PA também se constitui através de uma sequência numérica. Porém, os termos de uma PA são o resultado da soma de cada termo com a razão (r), enquanto os termos de uma PG, como exemplificado acima, são o resultado da multiplicação de cada termo pela sua razão (q).
Exemplo:
Na PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...) a razão (r) é 2. Ou seja, o primeiro termo somado a r 2 resulta no termo seguinte e assim sucessivamente.
Na PG (3, 6, 12, 24, 48, ...) a razão (q) também é 2. Mas, neste caso, o termo é multiplicado a q 2, resultando no termo seguinte e assim sucessivamente.
Veja também: Progressão Aritmética.
Significado prático de uma PG: onde ela pode ser aplicada?
A Progressão Geométrica permite a análise do declínio ou crescimento de algo. Em termos práticos, a PG possibilita a análise, por exemplo, das variações térmicas, crescimento populacional, entre outras tipos de verificações presentes no nosso dia a dia.
