Exercícios sobre sistemas lineares (com questões resolvidas e explicadas)

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Pratique sobre sistemas lineares e tire suas dúvidas com as resoluções passo a passo.

Questão 1

Considere o sistema linear abaixo:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 x mais 3 y igual a 12 fim da célula linha com célula com x menos y igual a 2 fim da célula fim da tabela fecha

Determine o valor de x e y que satisfazem o sistema.

A) x=12/5 e y=10/3

B) x=18/5 e y=8/5

C) x=2 e y=4

D) x=15/4 e y=3/8

E) x=5/3 e y=−1/2

Gabarito explicado

Isolando x na segunda equação:

x − y = 2  ⟹  x = y + 2

Substituindo x na primeira equação:

2 parêntese esquerdo reto y mais 2 parêntese direito mais 3 reto y igual a 12     espaço espaço2 reto y mais 4 mais 3 reto y igual a 12   espaço espaço  5 reto y igual a 12 menos 4 espaço espaço5 reto y igual a 8    reto y igual a 8 sobre 5

Encontrando x:

reto x espaço menos espaço reto y espaço igual a espaço 2reto x espaço menos espaço 8 sobre 5 igual a 2reto x igual a 8 sobre 5 mais 2reto x igual a 8 sobre 5 mais 10 sobre 5reto x igual a 18 sobre 5

Resposta correta: B) x=18/5 e y=8/5.

Questão 2

Considere o sistema linear a seguir:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 6 fim da célula linha com célula com x menos y igual a 2 fim da célula fim da tabela fecha

Qual é o valor de x e y?

A) x = 4 e y = 2

B) x = 3 e y = 3

C) x = 5 e y = 1

D) x = 2 e y = 4

E) x = 6 e y = 0

Gabarito explicado

Somando ambas as equações:

parêntese esquerdo reto x mais reto y parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo reto x menos reto y parêntese direito espaço igual a espaço 6 mais 2     espaço espaço2 reto x igual a 8  reto x igual a 8 sobre 2reto x igual a 4

Substituindo x = 4na primeira equação:

4+y=6  

y=6−4   

y=2

Resposta Correta:

A) x = 4 e y = 2

Questão 3

Um supermercado vende dois tipos de cestas básicas:

  • Cesta A, composta por 2 kg de arroz e 1 kg de feijão.
  • Cesta B, composta por 1 kg de arroz e 2 kg de feijão.

Em um mês, o supermercado vendeu 50 cestas no total, somando 80 kg de arroz e 70 kg de feijão. Quantas cestas de cada tipo foram vendidas?

A) 30 cestas A e 20 cestas B

B) 20 cestas A e 30 cestas B

C) 25 cestas A e 25 cestas B

D) 35 cestas A e 15 cestas B

E) 15 cestas A e 35 cestas B

Gabarito explicado

Resolução:

Definição das variáveis:

x: número de cestas do tipo A vendidas.

y: número de cestas do tipo B vendidas.

Montando o sistema:

O total de cestas vendidas foi 50:

x + y = 50 (cestas)

O total de arroz e feijão vendidos foi 80 kg e 70 kg, respectivamente.
Como cada cesta A tem 2 kg de arroz e 1 kg de feijão, e cada cesta B tem 1 kg de arroz e 2 kg de feijão, temos:

2x + y = 80 (arroz)

Resolvendo o sistema:

Da primeira equação, y = 50 - x.

Substituindo na segunda equação:

2x + (50 - x) = 80

x + 50 = 80

x = 80 - 50

x =30

Substituindo x = 30 na primeira equação:

30+y=50  

y = 50 - 30

y=20.

Solução:
Foram vendidas 30 cestas do tipo A e 20 cestas do tipo B.

A) 30 cestas A e 20 cestas B.

Questão 4

Uma gráfica produz dois tipos de convites:

  • Convite Simples (S): Custa R$ 2,00 por unidade e leva 3 minutos para ser produzido.
  • Convite Especial (E): Custa R$ 5,00 por unidade e leva 5 minutos para ser produzido.

Em um dia, a gráfica produziu um total de 200 convites, utilizando 700 minutos de trabalho. Quantos convites de cada tipo foram produzidos?

A) 100 convites Simples e 100 convites Especiais.

B) 150 convites Simples e 50 convites Especiais.

C) 120 convites Simples e 80 convites Especiais.

D) 130 convites Simples e 70 convites Especiais.

E) 140 convites Simples e 60 convites Especiais.

Gabarito explicado

Definição das variáveis:

  • x: número de convites Simples produzidos.
  • y: número de convites Especiais produzidos.

O total de convites produzidos foi 200:

x + y = 200

O tempo total de produção foi 700 minutos:

Como cada convite Simples leva 3 minutos e cada convite Especial leva 5 minutos, temos:

3x + 5y = 700

Resolvendo o sistema:

Da primeira equação, y = 200 - x.

Substituindo na segunda equação:

3 x espaço mais espaço 5. parêntese esquerdo 200 espaço menos x parêntese direito espaço igual a espaço 7003 x espaço mais espaço 1000 espaço menos 5 x espaço igual a espaço 700menos 2 x igual a 700 menos 1000menos 2 x igual a menos 3002 x igual a 300x igual a 300 sobre 2x igual a 150

Substituindo x = 150 na primeira equação:

150 + y = 200  

 y = 200 - 150

y = 50

Foram produzidos 150 convites Simples e 50 convites Especiais.

Resposta Correta:

B) 150 convites Simples e 50 convites Especiais.

Questão 5

Uma loja de artigos escolares vende três tipos de canetas: esferográfica (E), gel (G) e técnica (T). Os preços de cada caneta são R$ 2,00 para a esferográfica, R$ 3,00 para a gel e R$ 5,00 para a técnica. No final de um dia, foram vendidas ao todo 120 canetas, gerando uma receita de R$ 300,00. O número de canetas esferográficas vendidas foi oito vezes o número de canetas técnicas.

Quantas canetas de cada tipo foram vendidas?

A) 60 esferográficas, 40 gel e 20 técnicas.

B) 50 esferográficas, 30 gel e 40 técnicas.

C) 40 esferográficas, 50 gel e 30 técnicas.

D) 80 esferográficas, 30 gel e 10 técnicas.

E) 60 esferográficas, 30 gel e 30 técnicas.

Gabarito explicado

Dados do problema:

Preços:

  • Caneta esferográfica (E): R$ 2,00
  • Caneta gel (G): R$ 3,00
  • Caneta técnica (T): R$ 5,00

Total de canetas vendidas: 120

Receita total: R$ 300,00

Relação entre E e T: 

E=8T (o número de esferográficas é oito vezes o de técnicas)

Passo 1: Estabelecer as equações:

Total de canetas vendidas:

E+G+T=120

Receita total:

2E+3G+5T=300

Relação entre E e T:

E=8T

Passo 2: Substituir E=8T nas outras equações.

Substituindo E=8T na primeira equação:

8T+G+T=120  ⟹  9T + G = 120 (Equação 1)

Substituindo E=8T na segunda equação:

2(8T)+3G+5T=300  ⟹  

16T+3G+5T=300  ⟹ 

 21T + 3G = 300

Simplificando (dividindo todos os termos por 3):

7T + G = 100 (Equação 2)

Passo 3: Resolver o sistema de equações

Temos:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 9 T espaço mais espaço G espaço igual a espaço 120 fim da célula linha com célula com 7 T espaço mais espaço G espaço igual a espaço 100 fim da célula fim da tabela fecha

Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:

2T = 20

T=10

Substituindo T=10 na Equação 2:

7(10)+G=100  

 70+G=100  

G=100-70

G=30

Agora, usando E=8T:

E=8×10=80

Resposta:

Foram vendidas:

  • 80 canetas esferográficas (E),
  • 30 canetas gel (G),
  • 10 canetas técnicas (T).

Veja também exercícios sobre equação do 1º grau.

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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