Exercícios sobre produtos notáveis para estudar (resolvidos e explicados)

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Os produtos notáveis são expressões que simplificam cálculos numéricos e algébricos. Pratique seus conhecimentos com estes exercícios resolvidos.

Questão 1

O quadrado da soma de dois números é igual a 169. Sabendo que um dos números é 8, qual é o outro número?

A) 2

B) 5

C) 3

D) 7

E) 9

Gabarito explicado

O quadrado da soma de dois números é dado pela fórmula:

parêntese esquerdo a mais b parêntese direito ao quadrado igual a a ao quadrado mais 2 a b mais b ao quadrado

Sabemos que parêntese esquerdo a mais b parêntese direito ao quadrado igual a 169. Portanto, a mais b igual a raiz quadrada de 169 igual a 13.

Um dos números é a = 8. Substituímos na equação a + b = 13:

8 mais b igual a 13b igual a 13 menos 8b igual a 5.

Questão 2

O valor do quadrado da diferença de dois números é 64. Sabendo que um dos números é 12, qual é o outro número?

A) 8

B) 4

C) 16

D) 10

E) 6

Gabarito explicado

O quadrado da diferença de dois números é dado pela fórmula:

parêntese esquerdo a menos b parêntese direito ao quadrado igual a a ao quadrado menos 2 a b mais b ao quadrado

Sabemos que parêntese esquerdo a menos b parêntese direito ao quadrado igual a 64. Portanto, a menos b igual a mais ou menos raiz quadrada de 64 igual a mais ou menos 8.

Um dos números é a = 12. Substituímos na equação a - b = 8:

12 menos b igual a 8b igual a 12 menos 8b igual a 4

Questão 3

Considere os números x e y tais que x + y = 7 e x ⋅ y = 12. Qual é o valor de reto x ao quadrado mais reto y ao quadrado?

A) 37

B) 49

C) 25

D) 29

E) 31

Gabarito explicado

Sabemos que:

x ao quadrado mais y ao quadrado igual a parêntese esquerdo x mais y parêntese direito ao quadrado menos 2 vezes parêntese esquerdo x vezes y parêntese direito

Substituimos os valores dados:

x + y = 7

x ⋅ y = 12

x ao quadrado mais y ao quadrado igual a parêntese esquerdo 7 parêntese direito ao quadrado menos 2 vezes parêntese esquerdo 12 parêntese direitox ao quadrado mais y ao quadrado igual a 49 menos 24x ao quadrado mais y ao quadrado igual a 25

Questão 4

Sabendo que o quadrado da soma de dois números a e b é igual a 81 e que o dobro do produto desses números é 18, qual é o valor de reto a ao quadrado mais reto b ao quadrado?

A) 27

B) 45

C) 81

D) 63

E) 54

Gabarito explicado

Sabemos que:

parêntese esquerdo a mais b parêntese direito ao quadrado igual a a ao quadrado mais 2 a b mais b ao quadrado

O dobro do produto desses números é 18:

2ab = 18

O quadrado da soma é igual a 81:

parêntese esquerdo reto a mais reto b parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 81

Substituímos os valores fornecidos:

81 igual a a ao quadrado mais 18 mais b ao quadrado81 igual a a ao quadrado mais b ao quadrado mais 1881 menos 18 igual a a ao quadrado mais b ao quadrado63 igual a a ao quadrado mais b ao quadrado

Resposta Correta:

D) 63.

Questão 5

Sabendo que o cubo da soma de dois números a e b é dado pela expressão:

parêntese esquerdo a mais b parêntese direito ao cubo igual a a ao cubo mais 3 a ao quadrado b mais 3 a b ao quadrado mais b ao cubo

Desenvolva o valor da expressão parêntese esquerdo 4 a mais 3 b parêntese direito ao cubo. Assinale a alternativa correta.

A) 64 a ao cubo mais 48 a ao quadrado b mais 36 a b ao quadrado mais 27 b ao cubo

B) 64 a ao cubo mais 144 a ao quadrado b mais 108 a b ao quadrado mais 27 b ao cubo

C) 64 a ao cubo mais 36 a ao quadrado b mais 108 a b ao quadrado mais 27 b ao cubo

D) 64 a ao cubo mais 108 a ao quadrado b mais 108 a b ao quadrado mais 27 b ao cubo

E) 64 a ao cubo mais 144 a ao quadrado b mais 108 a b ao quadrado mais 81 b ao cubo

Gabarito explicado

Utilizando a fórmula:

parêntese esquerdo 4 a mais 3 b parêntese direito ao cubo igual a parêntese esquerdo 4 a parêntese direito ao cubo mais 3 parêntese esquerdo 4 a parêntese direito ao quadrado parêntese esquerdo 3 b parêntese direito mais 3 parêntese esquerdo 4 a parêntese direito parêntese esquerdo 3 b parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 3 b parêntese direito ao cubo

Agora, calculamos cada termo:

marca espaço parêntese esquerdo 4 reto a parêntese direito ao cubo igual a 4 ao cubo reto a ao cubo igual a 64 reto a ao cubomarca espaço 3 parêntese esquerdo 4 reto a parêntese direito ao quadrado parêntese esquerdo 3 reto b parêntese direito igual a 3 parêntese esquerdo 16 reto a ao quadrado parêntese direito parêntese esquerdo 3 reto b parêntese direito igual a 144 reto a ao quadrado reto bmarca espaço 3 parêntese esquerdo 4 reto a parêntese direito parêntese esquerdo 3 reto b parêntese direito ao quadrado igual a 3 parêntese esquerdo 4 reto a parêntese direito parêntese esquerdo 9 reto b ao quadrado parêntese direito igual a 108 ab ao quadradomarca espaço parêntese esquerdo 3 reto b parêntese direito ao cubo igual a 3 ao cubo reto b ao cubo igual a 27 reto b ao cubo

Somando os termos:

parêntese esquerdo 4 a mais 3 b parêntese direito ao cubo igual a 64 a ao cubo mais 144 a ao quadrado b mais 108 a b ao quadrado mais 27 b ao cubo

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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